Умножение чисел со степенями с разными основаниями

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

• Упростить выражение.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представить в виде степени.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Представить в виде степени.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

m : a n =–>

= a m − n , где « a » — любое число, не равное нулю, а « m », « n » — любые натуральные числа такие, что « m > n ».

• Записать частное в виде степени
  (2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Вычислить.
  

  11 3 · 4 2

  11 2 · 4

  = 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

• Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
  3 8 : t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

=

=

=

=

= 2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3
Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

• Пример.
  (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
• Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .

По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

• Пример 1.
  (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
• Пример 2.
  (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(a n · b n )= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

• Пример. Вычислить.
  2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
• Пример. Вычислить.
  0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

• Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
  (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Какие возможны действия со степенями?

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

• 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
• 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
• 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
• 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
• 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

Проверим на примерах:

• 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

• 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
• (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
• 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
• А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них,
• затем возведение в степень,
• потом выполнять действия умножения, деления,
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

• A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

• (A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

• A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
• A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
• А˃1.
• Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

1. r1 – в этом случае равно 3,
2. r2 – будет равно 4.
3. Тогда, при А = 1, 1π = 1.
4. А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
5. А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

• Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
• А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
• Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
• В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.

Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

• где a – начальное значение,
• e – константа, равная 2,718;
• k – коэффициент роста;
• t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Умножение с одинаковыми степенями и разными основаниями. Правило умножение степеней с разными основаниями

В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

Представим это произведение в полном виде:

Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие – что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

(а) х / (а) у = (а) х – у

Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

(а) х / (а) х = (а) (х – х) = (а) 0

С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

Вне зависимости от значения а.

Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

Решим упражнение. Найдем значение выражения:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Ответ: выражение равно единице.

Урок на тему: “Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине “Интеграл” для 7 класса
Пособие к учебнику Ю.Н. Макарычева Пособие к учебнику А.Г. Мордковича

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие “степень числа”. Выражение вида $underbrace< a * a * ldots * a >_$ можно представить, как $a^n$.

Справедливо также обратное: $a^n= underbrace< a * a * ldots * a >_$.

Это равенство называется “запись степени в виде произведения”. Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a – основание степени.
n – показатель степени.
Если n = 1 , значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0 , то $a^0= 1$.

Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

Правила умножения

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $underbrace< a * a * ldots * a >_ * underbrace< b * b * ldots * b >_$.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $underbrace< (a * b) * (a * b) * ldots * (a * b) >_$.

Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила деления

Запишем степени в виде дроби:

$frac_>_>$.

Теперь сократим дробь.

Получается: $underbrace< a * a * ldots * a >_= a^$.
Значит, $frac=a^$ .

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m , тогда $a^0= a^=frac =1$.

б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $frac< b^n>$. Запишем степени чисел в виде дроби:

$frac_>_>$.

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32_8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:

a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени – достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения – еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2020)

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Зачем нужны степени?

Где они тебе пригодятся?

Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Чтобы узнать ВСЕ О СТЕПЕНЯХ, читай эту статью.

И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ЕГЭ.

И к поступлению в ВУЗ твоей мечты!

Let’s go. (Поехали!)

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики – люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем .

Вот таблица умножения. Повторяй.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно –возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени – это . И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью – кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток ( штук) и по другой тоже плиток. Умножив на , ты получишь плиток ( ).

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет ( ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет . Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа. По одной стороне клеток и по другой тоже . Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной , то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. ( ) Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно . Записывается это так: .

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4

У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год – два умножить на два… во второй год – то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени – миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5

У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год – умножить на , потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или .

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Термины и понятия. чтобы не запутаться

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

Степень числа с натуральным показателем

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число . Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.

Всякие дроби – это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число .

Резюме:

Степень с натуральным показателем

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. Любое число в первой степени равно самому себе:
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:

Определение. Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.

Свойства степеней

Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.

1.

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа с показателем , то есть: , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение .

Решение:

Пример: Упростите выражение .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что .

2. то и есть -ая степень числа

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа :

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать ?

Но это неверно, ведь .

Степень с отрицательным основанием

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.

Но каким должно быть основание?

В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом. И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже .

Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число ? А ? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть , , или . Но если мы умножим на , получится .

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.

Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно ? Очевидно нет, так как (потому что ).

Пример 6) уже не так прост!

Тут нужно узнать, что меньше: или ? Если вспомнить, что , становится ясно, что , а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило II: результат будет отрицательным.

Умножение с одинаковыми степенями и разными основаниями. Правило умножение степеней с разными основаниями

В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

Представим это произведение в полном виде:

Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие – что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

(а) х / (а) у = (а) х – у

Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

(а) х / (а) х = (а) (х – х) = (а) 0

С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

Вне зависимости от значения а.

Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

Решим упражнение. Найдем значение выражения:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Ответ: выражение равно единице.

Урок на тему: “Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине “Интеграл” для 7 класса
Пособие к учебнику Ю.Н. Макарычева Пособие к учебнику А.Г. Мордковича

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие “степень числа”. Выражение вида $underbrace< a * a * ldots * a >_$ можно представить, как $a^n$.

Справедливо также обратное: $a^n= underbrace< a * a * ldots * a >_$.

Это равенство называется “запись степени в виде произведения”. Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a – основание степени.
n – показатель степени.
Если n = 1 , значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0 , то $a^0= 1$.

Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

Правила умножения

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $underbrace< a * a * ldots * a >_ * underbrace< b * b * ldots * b >_$.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $underbrace< (a * b) * (a * b) * ldots * (a * b) >_$.

Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила деления

Запишем степени в виде дроби:

$frac_>_>$.

Теперь сократим дробь.

Получается: $underbrace< a * a * ldots * a >_= a^$.
Значит, $frac=a^$ .

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m , тогда $a^0= a^=frac =1$.

б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $frac< b^n>$. Запишем степени чисел в виде дроби:

$frac_>_>$.

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32_8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:

a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени – достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения – еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Умножение чисел со степенями с разными основаниями

Ключевые слова конспекта: степень с натуральным показателем, основание степени, показатель степени, возведение в степень, дисперсия, умножение и деление степеней, свойства степеней.

Произведение 7 • 7 • 7 • 7 • 7 записывают короче: 7 5 . Выражение вида 7 5 называют пятой степенью числа 7 (читают: «семь в пятой степени»). В записи 7 5 число 7, которое означает повторяющийся множитель, называют основанием степени, а число 5, показывающее, сколько раз этот множитель повторяется, называют показателем степени.

Умножим 7 5 на 7 3 :
7 5 • 7 3 = (7 • 7 • 7 • 7 • 7) • (7 • 7 • 7) = 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = 7 8 .
Показатель степени увеличился на 3. Естественно считать, что 7 = 7 1 . Вообще считают, что первой степенью числа является само число. Например, 18 1 = 18, 104 1 = 104.

Степень с натуральным показателем

✅ Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют выражение а n , равное произведению n множителей, каждый из которых равен а.
Степенью числа а с показателем 1 называют выражение а 1 , равное а.

По определению

Запись а n читается так: «а в степени n» или «n-я (энная) степень числа а». Для второй и третьей степеней числа используют специальные названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.

Возведение в степень

Нахождение n-й степени числа а называют возведением в n-ю степень.

Пример 1. Возведём число -3 в четвёртую и пятую степени:
(-3) 4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81;
(-3) 5 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = -243.

Из свойств умножения следует, что:

• при возведении нуля в любую степень получается нуль;
• при возведении положительного числа в любую степень получается положительное число;
• при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем — отрицательное число.

Пример 2. Возведём число 6,1 в седьмую степень, воспользовавшись калькулятором. Для этого надо выполнить умножение:
6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1.
Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень проще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для того чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести число 6,1, нажать клавишу УМНОЖИТЬ и шесть раз нажать клавишу РАВНО . Получим, что 6,1 7 = 314274,28.

При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.

Пример 3. Найдём значение выражения -6 2 + 64 : (-2) 5 . Последовательно находим:
1) 6 2 = 36;
2) (–2) 5 = –32;
3) 64 : (–32) = –2;
4) –36 + (–2) = –38.

Пример 4. Найдём множество значений выражения 5 • (–1) n + 1 + 2, где n ∈ N.
Если n — нечётное число, то (-1) n + 1 = 1; тогда 5 • (-1) n + 1 + 2 = 5 • 1 + 2 = 7.
Если n — чётное число, то (-1) n + 1 = -1; тогда 5 • (-1) n + 1 + 2 = 5 • (-1) + 2 = -5 + 2 = -3.
Множество значений данного выражения: <-3; 7>.

В рассмотренном примере было указано, что n ∈ N. Условимся в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если показатель степени содержит переменную, то значениями этой переменной являются натуральные числа.

Дисперсия

Степень с натуральным показателем широко используется в естествознании для вычисления различных характеристик. Например, в статистике, для того чтобы узнать, как числа некоторой выборки расположены по отношению к среднему арифметическому этой выборки, используют отклонения, их квадраты и среднее арифметическое квадратов отклонений — дисперсию.

Пример 5. Дана выборка: 4, 6, 7, 8, 10. Среднее арифметическое этой выборки равно 7. Тогда отклонения вариант данной выборки от среднего арифметического равны: 4 – 7 = –3, 6 – 7 = –1, 7 – 7 = 0,8 – 7 = 1, 10 – 7 = 3, т. е. мы получили ещё один набор чисел — отклонения каждой варианты выборки от среднего арифметического. По новой выборке (–3; –1; 0; 1; 3) можно судить о том, насколько близки к среднему арифметическому числа исходного набора. Но поскольку сумма отклонений равна нулю, то и среднее арифметическое этой новой выборки также равно нулю. Поэтому для дальнейших исследований исходного набора находят квадраты отклонений и их среднее арифметическое

Полученное число и есть дисперсия исходной выборки.

Умножение степеней

Представим произведение степеней а 5 и а 2 в виде степени:
а 5 • а 2 = (а • а • а • а • а) • (а • а) = а • а • а • а • а • а • а = а 7 .
Мы получили степень с тем, же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Подмеченное свойство выполняется для произведения любых двух степеней с одинаковыми основаниями.

Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то а m • а n = а m+ n

Докажем это. Из определения степени и свойств умножения следует, что

Доказанное свойство называется основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Это нетрудно показать с помощью таких же рассуждений.

Из основного свойства степени следует правило:

• чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Деление степеней

Представим теперь в виде степени частное степеней а 8 и а 3 , где а ≠ 0. Так как а 3 • а 5 = а 8 , то по определению частного а 8 : а 3 = а 5 .

Мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. Такое свойство выполняется для частного любых степеней с одинаковыми основаниями, не равными нулю, у которых показатель делимого больше показателя делителя.

Если а — произвольное число, не равное нулю, m и n — любые натуральные числа, причём m > n, то а m : а n = а m — n , где а ≠ 0, m ≥ n

Докажем это. Умножим а m — n на а n , используя основное свойство степени:
a m – n • a n = a (m – n) + n = a m – n + n = a m

Из доказанного свойства следует правило:

• чтобы выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а из показателя делимого вычесть показатель делителя.

Степень с нулевым показателем

Мы рассматривали степени с натуральными показателями. Введём теперь понятие степени с нулевым показателем.

✅ Определение. Степенью числа а, где а ≠ 0, с нулевым показателем называется выражение а 0 , равное 1 .

Например, 5 0 = 1; (–6,3) 0 = 1. Выражение 0 0 не имеет смысла.

Это конспект по математике на тему «Степени. Свойства степеней». Выберите дальнейшие действия: